En mathématiques, un biquaternion (ou quaternion complexe) est un élément de l'algèbre des quaternions sur les nombres complexes. Le concept d'un biquaternion fut mentionné la première fois par William Rowan Hamilton au . William Kingdon Clifford utilisa le même nom à propos d'une algèbre différente. biquaternion de Clifford Il y a aussi une autre notion de biquaternions, distincte : une algèbre de biquaternions sur un corps commutatif K est une algèbre qui est isomorphe au produit tensoriel de deux algèbres de quaternions sur K (sa dimension est 16 sur K, et non pas 8 sur R). Soit , la base pour les quaternions (réels), et soient des nombres complexes, alors est un biquaternion. Les scalaires complexes sont supposés commuter avec les vecteurs de la base des quaternions (c.-à-d. vj = jv). En opérant judicieusement avec l'addition et la multiplication, en accord avec le groupe des quaternions, cette collection forme une algèbre à 4 dimensions sur les nombres complexes. L'algèbre des biquaternions est associative, mais pas commutative. L'algèbre des biquaternions peut être considérée comme un produit tensoriel où est le corps des nombres complexes et est l'algèbre des quaternions réels. Notez que le produit matriciel

où chacune de ces matrices possède un carré égal au négatif de la matrice identité. Lorsque le produit matriciel est interprété comme , on obtient alors un sous-groupe du groupe des matrices qui est isomorphe au groupe des quaternions. En conséquence, représente le biquaternion q. Étant donné une matrice complexe 2×2 quelconque, il existe des valeurs complexes u, v, w et x pour la tourner dans cette forme, c’est-à-dire que l' est isomorphe à l'anneau des biquaternions. Supposons que nous prenions w purement imaginaire, , où . (Ici, on utilise à la place de i pour l'imaginaire complexe pour le distinguer du quaternion i.) Maintenant, lorsque r = w j, alors son carré est En particulier, lorsque b = 1 ou –1, alors . Ce développement montre que les biquaternions sont une source de « moteurs algébriques » comme r qui élevé au carré donne +1.