droite|vignette|La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans le plan complexe. La couleur d'un point s code la valeur de ζ(s) : les couleurs proches du noir indiquent des valeurs proches de zéro, alors que la teinte code l'argument de la valeur. En mathématiques, la théorie analytique des nombres est une branche de la théorie des nombres qui utilise des méthodes d'analyse mathématique pour résoudre des problèmes concernant les nombres entiers. On considère souvent qu'elle a commencé en 1837, avec l'introduction par Peter Gustav Lejeune Dirichlet de ses fonctions L pour donner la première preuve de son théorème de la progression arithmétique. Elle est connue pour ses résultats sur les nombres premiers (impliquant le théorème des nombres premiers et la fonction zêta de Riemann) et la théorie additive des nombres (tels que la conjecture de Goldbach et le problème de Waring). La théorie analytique des nombres peut être divisée en deux branches principales, plus par le type de problèmes qu'elles tentent de résoudre que les différences fondamentales dans leurs techniques. La théorie multiplicative des nombres traite de la distribution des nombres premiers, ou l'estimation du nombre de nombres premiers dans un intervalle, et inclut le théorème des nombres premiers et le théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques. La théorie additive des nombres s'intéresse à la structure additive des entiers, par exemple à la conjecture de Goldbach selon laquelle tout entier pair supérieur à 3 est la somme de deux nombres premiers. L'un des principaux résultats de la théorie additive est la solution du problème de Waring. Une grande partie de la théorie analytique des nombres a été inspirée par le théorème des nombres premiers. Soit π(x) la fonction de compte des nombres premiers qui donne le nombre de nombres premiers inférieur ou égaux à x, pour tout nombre réel x. Par exemple, π(10) = 4 car il y a quatre nombres premiers (2, 3, 5 et 7) inférieurs ou égaux à 10.