Le sujet de cette thèse est l’étude des solutions de l’équation différentielle matricielle non linéaire AA'= A'A. Une partie importante de notre travail a été consacrée à l’élaboration des outils appropriés à cette étude dans les deux domaines suivants :
(a) Le domaine de l’algèbre linéaire « paramétrée », qui traite notamment des matrices fonctions d’une variable, de la régularité de leurs valeurs propres et de leurs sous-espaces spectraux, des sous-espaces vectoriels fonctions d’une variable, etc.
(b) Le domaine des ensembles de matrices complexes carrées de même ordre (ou domaine des ensembles de transformations linéaires d’un espace vectoriel complexe de dimension finie), comprenant les ensembles commutatifs de matrices, la réduction simultanée d’un ensemble de matrices à une forme réduite, les sous-algèbres engendrées par une seule matrice (c’est-à-dire les ensembles de polynômes en une matrice fixée à coefficients scalaires), etc.
En raison de la grande étendue de ces domaines, nous avons décidé de limiter cette thèse à l’exposition de la partie centrale de son sujet, accompagnée de quelques compléments. Nous présentons d’abord un résumé comparatif détaillé et commenté de l’ensemble des résultats de notre travail (faisant l’objet de plusieurs articles publiés ou en préparation) et de ceux obtenus par d’autres chercheurs. Nous rappelons notamment de quelle manière notre problème a été réduit au cours de travaux précédents. Nous présentons ensuite une méthode permettant d’entreprendre l’étude de la forme réduite de notre problème, ainsi que quelques applications montrant l’efficacité de cette méthode.
Le sujet principal de cette thèse est présenté au chapitre 1 ; le résumé mentionné ci-dessus est exposé au chapitre 2. Nous consacrons le chapitre 3 à la présentation d’une méthode de résolution de l’équation AA' = A'A, due à I. J. Epstein, que nous clarifions tout en montrant qu’elle s’applique à une large classe d’équations différentielles matricielles non linéaires. Nous en déduisons, au chapitre 4, notre propre méthode de résolution de l’équation AA' = A'A , mentionnée ci-dessus. Au chapitre 5, nous exposons une méthode permettant de construire aisément une famille de contre-exemples importants concernant le sujet de cette thèse. Enfin, divers compléments sont rejetés dans quatre annexes, notamment un résultat sur la séparation des valeurs propres d’une fonction matricielle continue.
